at the last minute の意味
「at the last minute」は直訳だと「最後の1分で」です。
そこから、
・土壇場で
・直前に
・最後になって
・ギリギリで
という意味になります。
主に文末に置かれますが、文中に置かれることもあります。
例文
They canceled at the last minute.
→彼らは直前でキャンセルした（ドタキャンした）。
He showed up at the last minute after all.
→彼は結局最後の最後に現れた。
She decided what to wear to the party at the last minute.
→彼女はパーティに何を着ていくのかをギリギリで決めた。
until the last minute の意味
「until the last minute」は直訳だと「最後の1分まで」です。
つまり、こちらは「最後の最後まで / ギリギリまで」になります。
よくある使い方の例として、
・肯定文で「ギリギリまで～する」
・否定文で「ギリギリまで～しない」
となります。
例文
They didn't separate their hands until the last minute.
→彼らは最後の最後までお互いの手を離さなかった。
She didn't show up until the last minute.
→彼女は最後まで現れなかった。
I always wait until the last minute to do my homework.
→私はいつも宿題をやるのにギリギリまで待つ（≒ギリギリまでやらない）。
まとめ
・「at the last minute」の意味は「土壇場で」「直前に」「最後になって」「ギリギリで」
・主に文末（まれに文中）に置かれる
・「until the last minute」の意味は「最後の最後まで / ギリギリまで」
・肯定文で「ギリギリまで～する」、否定文で「ギリギリまで～しない」となるパターンが多い
