Don't bother. の意味
「Don't bother.」の意味は「お構いなく」や「その必要はないよ」という口語表現です。
例文
"I'll make you some tea or coffee." "Don't bother."
「お茶かコーヒー入れるね」「お構いなく」
“I'll drive you home.” “No, don't bother.”
「車で家まで送るよ」「いや、いいよ」
（引用：ウィズダム英和辞典 第4版）
自動詞「bother」は「（面倒くさいことなどを）わざわざする」という意味です。
そこから、「Don't bother. = わざわざしないで = お構いなく」となります。
Don't bother me. の意味
「Don't bother me.」の意味は「邪魔しないで」や「面倒をかけないで」です。
こちらは他動詞で、「bother 人」の形で「（人）の邪魔をする」という意味で使われています。
先述の「Don't bother.」とは意味が異なるので注意が必要です。
まとめ
・「Don't bother.」は、日本語の「お構いなく」や「その必要はないよ」に相当する口語表現
・「Don't bother me.」は「邪魔しないで」や「面倒をかけないで」
・「bother 人」の形で「（人）の邪魔をする」の意味
