by the sight of の意味
「by the sight of」の意味は「～を見て」で、言葉のイメージとしては「～を見ることによって」になります。
そこから、よく使われるのが「～を見て～した」という文章パターンです。
She fainted by the sight of blood.
彼女は血を見て気を失った。
I was mesmerized by the sight of the stars scattered across the night sky.
夜空に散りばめられた星々を見て魅了された。
The king was stunned by the sight of the angry crowd.
怒れる群衆を目の当たりにして王は茫然とした。
（引用：ウィズダム英和辞典 第4版）
at the sight of の意味
「at the sight of」も「～を見て」と訳すことができます。
しかし、こちらは「～を見た瞬間に」の意味合いが強いです。
She screamed at the sight of the spider.
彼女はクモを見て悲鳴を上げた。
I can't stop giggling at the sight of this picture.
この写真を見ると笑いが止まらない。
※giggle → くすくす笑う
His face froze at the sight of the bear.
クマの姿を見て彼の表情は凍りついた。
（引用：ウィズダム英和辞典 第4版）
何故「at the sight of = 見た瞬間」になる？
「at」は「時の一点」を表します。
例えば、「at 6（o'clock）」なら「6時」を表します。
そこから、「at the sight of = ～を見た時の一点」を表し、「見た瞬間に」の意味になります。
そこが「by the sight of（～を見たことによって）」との大きな違いです。
まとめ
・「by the sight of」の意味は「～を見て」で、「～を見ることによって」のイメージ
・よく使われる文章パターンは「～を見て～した」
・「at the sight of」も「～を見て」と訳せるが、「～を見た瞬間に」の意味合いが強い
