get cocky の意味
結論から言うと、「get cocky」の意味は「図に乗る」や「調子に乗る」です。
形容詞「cocky」には、
・自信過剰な
・自惚れた
・生意気な
・気取った
などという意味があります。
それに「get」を付けて「get cocky」にすることにより、
・図に乗る
・調子に乗る
・自惚れる
・付け上がる
などとなります。
この「get」は「~になる」という「動き」を表しています。
FF7Rの例文

Pretty cocky, ain'tcha?
「ずいぶん自信過剰だな?」
これは「You are pretty cocky, aren't you?」の口語的な表現です。
「get cocky」とは違い、「be cocky」は「自信過剰の状態である」ことを意味します。
Don't get cocky. の意味
「Don't get cocky.」の意味は「図に乗るなよ」や「調子に乗るなよ」で、使い方は日本語と同じです。
肯定文でも使われますが、否定文の方がよく見かけます。
FF9の例文

But don't get cocky, kupo.
Lots of stronger monsters ahead.
FF9のモーグリのセリフです。
日本語版はこうなっています。

でも調子にのってちゃだめクポよ!
この先もっともっと強い敵が出るクポ
このように、特に強い口調でない場合もこう訳されています。
スターフォックス64の例文
スターフォックス64というゲームに、ウルフ・オドネルというキャラクターがいます。
そのウルフが登場する時に「図にのるなよ、スターフォックス!」と言います。
英語版はこうなっています。

Don't get too cocky, Star Fox!
ここでは「too」で強調されており、「あまり調子に乗りすぎるなよ」となります。
ジョジョの奇妙な冒険 スティール・ボール・ラン

Don't get cocky pulling weird shit like that.(英語字幕)
妙なことしやがって いきがるんじゃあねえ!(日本語セリフ)
「pull」は口語で「(よくないことなど)~をする」という意味で使われます。
「weird shit like that」は「そのような変なこと」です。
それが分詞構文として続いた形です。
cocky の発音
アメリカ英語【kάki】
イギリス英語【kˈɔki】
カタカナで表すなら、アメリカは「カキ―」、イギリスは「コキー」になります。
まとめ
・形容詞「cocky」の意味は「自信過剰な」「自惚れた」「生意気な」「気取った」
・「図に乗る」や「調子に乗る」は「get cocky」で、「~になる」という動き
・「Don't get cocky.」の意味は「図に乗るなよ」や「調子に乗るな」