go about の意味
「go about」は、主に「～に取り組む」「（普段の仕事など）をこなす」「～が広まる」という意味で使われます。
・～に取り組む / 取り掛かる
→仕事や課題などに取り組んだり始めたりする
・～をこなす
→日常的な行動や仕事などを行う
・～が広まる
→噂や病気などが広まる
次は例文を交えながら1つずつ見ていきます。
～に取り組む
「go about」の後ろには名詞だけではなく、「go about +動詞のing」の形で「～することに取り組む」とすることもできます。
I’m not sure how to go about solving this problem.
この問題をどう解決すればいいのか分からない。
この問題を解決するにはどう取り組めばいいのか分からない。
How are you going to go about doing that?
それにどのように取り組むつもりですか？
それをどうやってやるつもりですか？
I finally went about organizing my book collection.
やっと本のコレクションの整理に取り掛かった。
I don't even know how I would go about it.
それにどう取り組めばいいのかすら分からない。
The way they went about it was rude.
彼らのやり方は失礼だった。
「go about +ing」は「～して回る」の意味にもなる
You shouldn’t go about telling everyone bad things about him.
彼の悪口を言いふらさない方がいいよ。
この文は「go about telling = 言って回る」の意味になります。
「彼の悪口をみんなに言うことに取り組まない方がいいよ」よりも、「彼の悪口をみんなに言って回らない方がいいよ」の方が自然なので、文脈があればどちらの意味かは予想ができます。
～をこなす
この意味でよく使われるのが「go about one's lives」や「go about one's daily routines」です。
これらは「普段の生活を送る」や「普段のルーティーンをこなす」という意味になります。
Despite the storm, people went about their daily routines.
嵐にも関わらず、人々は普段のルーティーン（日課）をこなしていた。
I don't know how people go about their lives.
人々がどのように生活をしているのか分かりません。
go about one's business の意味
「go about one's business」の意味は「～を続ける」や「普段通りのことをやる」です。
この「business」は、いわゆる「ビジネス」だけではなく、普段の行動や用事、自分のやるべきことなども含まれます。
He went about his business like nothing had happened.
彼は何事もなかったかのように仕事を続けた。
Even after the accident, he was going about his business as usual.
その事故の後でも、彼はいつも通り商売を続けていた。
（引用：ウィズダム英和辞典 第4版）
The street was full of ordinary people going about their business.
通りは日常生活を送る普通の人たちでいっぱいだった。
（引用：ロングマン現代英英辞典）
～が広まる
この意味では「（主語）go about」の形で「（主語が）広まっている」、または「There is 構文」が使われるパターンがよく見られます。
The flu went about quickly
インフルエンザは急速に広まった。
There’s a rumor going about that the company will close down.
その会社が潰れる（廃業する）という噂が広まっています。
イギリス英語の「go about」の意味
イギリス英語では、「（船が）反対方向に針路を変える」という意味でも使われます。
ロングマン現代英英辞典にはこのように載っています。
British English
if a ship goes about, it turns to go in the opposite direction
（引用：ロングマン現代英英辞典）
ただし、この使い方は非常に限定的です。
何故この意味になる？
まず、go には「（行為などを）始める」という意味があります。
その代表が「go on」です。
My radio is set to go on at 6 a.m.
私のラジオは朝6時に電源が入るようにセットしてある。
（引用：ウィズダム英和辞典 第4版）
「go on at 6 a.m. = 6時に始動する」で、動き始めるというニュアンスがあります。
そして、go は自動詞なので、「～を」と続けるために前置詞「about」が必要となるのですが、about が使われるのには理由があります。
about の意味
about は句動詞として使われると、様々な意味を持ちます。
「go about」は「活動（を開始）して」や「発生して」の意味の about から来ています。
そこから、「仕事や活動などを開始する = ～に取り組む / ～をこなす」や「噂などが発生する」というイメージになります。
他には、「come about（起こる / 生じる）」や「bring about（～を引き起こす）」も同じ about の使い方です。
先述の「（船が）反対方向に針路を変える」は、「反対方向に」という意味の about から来ています。
「turn about」になると「方向転換する」や「向きを変える」となります。
about = あちこち
他には「あちこち」の意味があります。
例えば、「run about（走り回る）」は「あちこち走る = 走り回る」のニュアンスがあります。
「get about（歩き回る / 動き回る）」も同じです。
基本的に「about = ～について / 関して」ですが、以上のように句動詞として使われると意味が広がります。
まとめ
・「go about +名詞 or ing」
→～に取り組む / 取り掛かる
・「go about +ing」は「～して回る」の意味にもなる
・go about their lives / go about their daily routines
→「普段の生活を送る」や「普段のルーティーンをこなす」
・go about one's business
→「～を続ける」や「普段通りのことをやる」
・噂や病気などが広まるという意味で使われる
・「（主語）be going about（（主語が）広まっている）」や「There is 構文」が使われることが多い
・イギリス英語では「（船が）反対方向に針路を変える」の意味でも使われるが非常に限定的
