英語で「~しに行く」の言い方
「~しに行く」は、英語では「go +動詞の原形」で表現することができます。
I want to go see a movie again.
また映画を観に行きたい。
これは「go and do」の略で、特に口語でよく使われます。
例文
I'm gonna go buy some new shoes.
新しい靴を買いに行きます。
Let's go find her.
彼女を探しに行こう。
Let’s go get some coffee.
コーヒーを飲みに行こうよ。
I'll go check on him.
彼の様子を見に行きます。
※check on 人→(人)の様子を確認する
以上のように、「go +動詞の原形」で「~しに行く」となり、日本語とほぼ同じ意味と使い方です。
『サイレントヒルf』の例文

I'll go see if I can find the key.
「鍵を見つけられるか確かめに行ってみるよ」
「see if」は「~かどうかを確かめる」で、文脈的には「鍵があるかもしれないから見に行ってくるよ」となります。
日本語版は「俺は鍵を探してくる」になっています。
『SO2R』の例文

I can't go see him now... I can't bring myself to do such a thing... I'm scared... I'm so scared!
「今さら彼に会いに行けない……そんなことをする気になれない……怖い……とても怖いの!」
「bring oneself to」は「~する気になる」という意味で、否定文で使われることが多いです。
「go to +動詞の原形」との違い
「go to +動詞の原形」も「~しに行く」という意味的な部分では「go +動詞の原形」と同じです。
ただし、「go to +動詞の原形」の方が少しフォーマルな言い方かつ書き言葉的で、「~するために行く」という「目的」を明確にしています。
I went to see my grandmother yesterday.
昨日、祖母に会いに行きました。
We went to see a movie last night.
昨夜、私たちは映画を観に行きました。
We went to buy some groceries.
私たちは食料品を買いに行きました。
これらの文から「to」を除いても意味的には同じです。
「go +動詞のing」の形
「go +動詞のing」でも「~しに行く」の意味になります。
ただし、主に娯楽や趣味、屋外でのアクティビティに対して使われる傾向があり、組み合わされる単語はある程度決まっています。
また、単純に「~をする」と訳せることも多いです。
例文
Let's go shopping this afternoon.
午後に買い物に行こうよ。
I went swimming yesterday.
昨日、泳ぎに行きました。
Let's go snowboarding.
スノボやりに行こうよ。
Should I go running or to the gym?
ランニングするか、それともジムに行くか?
まとめ
・「~しに行く」は「go +動詞の原形」
・「go and do」の略で、特に口語的な表現
・「go to +動詞の原形」は意味的には「go +動詞の原形」と同じだが、少しフォーマルかつ書き言葉的で、「~するために行く」という「目的」を明確にしている
・「go +動詞のing」は、主に娯楽、趣味、屋外でのアクティビティなどに対して使われ、組み合わされる単語はある程度決まっている
・「go +動詞のing」は単純に「~する」とも訳せる