「have to」と「must」はどちらも「～しなければならない」と訳されます。
しかし、日本語は同じでも、そのニュアンスが異なります。
それらのニュアンスの違いを肯定文・否定文に分けて1つずつ見ていきます。
肯定文の have to のニュアンス
「have to」のニュアンスは、
・自分の意思とは関係なく「そうしなければならない時」
・「そういうルールの時」
という「しなければならない」です。
これを1つずつ見ていきます。
仕方なくしなければならない時の have to
1つ目は「仕方なく～しなければならない」ときです。
例えば、
・「歯医者に行きたくないけど、銀歯が取れたから行かなきゃ」
・「勉強したくないけど、テストが近いから勉強しなきゃ」
・「部屋を片付けないと」
・「弟の面倒を見なければならなかったんだよ」
と言う時は、
・「I have to go to the dentist.」
・「I have to study.」
・「I have to clean up my room.」
・「I had to take care of my younger brother.」
になります。
日本語的には「～せざるを得ない」に近い部分もあります。
一般的なルールや義務の have to
2つ目は「一般的なルール」や「義務」がある場合です。
I have to buy the ticket to get on the bus.
→そのバスに乗るためにはチケットを買わなければならない。
（→社会的なルール）
I have to get up early tomorrow.
→明日は早く起きなければならない。
（→学校や仕事という義務）
I have to go to work today.
→今日は仕事に行かなければならない。
（→義務）
2・3人称の時も同じです。
You have to take your medication every day.
→あなたは毎日薬を飲む必要があります。
（→医者により服用が決められているから）
You have to buy the ticket to get on the bus.
→そのバスに乗るためにはチケットを買う必要があります。
（→社会的なルール）
You have to wear a swimming cap at this pool.
→このプールでは水泳帽を被らないといけません。
（→このプールのルール）
このように「have to」は自分の意思とは違う、外的な要因や周囲の状況による「義務」や「必要性」による「しなければならない」です。
肯定文の must
「must」のニュアンスは「自発的に～しなければならない」です。
自分の意思とは関係のない「have to」とは違い、自分の意思で行う時に使います。
例えば、自分の意思で
・「歯医者に行かなきゃ」
・「勉強しなくちゃ」
・「もう行かなきゃ」
と思った時は、
・「I must go to the dentist.」
・「I must study.」
・「I must go now.」
になります。
一方、2・3人称の「must」は、話し手による命令や強制、義務のニュアンスが含まれます。
つまり、ここには話し手の主観が現れています。
そのため、使い方には注意が必要です。
you must go to the dentist.
→あなたは歯医者に行かなければならない。
（→話し手の命令）
you must study.
→あなたは勉強しなければならない。
（→話し手の命令・強制）
You must read this book.
→あなたはこの本を読まなければならない。
（→話し手が決めた義務）
このように「must」は自分の意思による場合に使います。
否定文の have to と must の違い
否定文ではニュアンスが更に異なり、発言の強さが違います。
not have to のニュアンス
「not have to」は「～する必要はない」や「～する必要はないですよ」という柔いニュアンスです。
I don't have to clean my room.
→部屋を掃除する必要はないかな。
You don't have to eat it all.
→全部食べる必要はないですよ 。
must not のニュアンス
「must not 」は「～してはいけない」という強い禁止を表します。
I must not eat too much.
→（ダイエット中だから）食べ過ぎちゃ駄目だ。
You must not take pictures here.
→ここで写真を撮ってはいけません。
You must not eat too much.
→食べ過ぎ厳禁 。
まとめ
【have to】
・そうしなければならないとき
・そういうルールのとき
・not have to は「～する必要はない」
【must】
・自分の意思で自ら行うとき
・must not は「してはいけない」という強い否定