「have to」と「must」はどちらも「～しなければならない」と訳されます。
しかし、日本語訳は同じでも、そのニュアンスが異なります。
それらのニュアンスの違いを肯定文・否定文に分けて、例文を見ながら1つずつ解説してきます。
肯定文の have to のニュアンス
・自分の意思とは関係なく「そうしなければならない時」
・そういうルールの時
このように、have to には「そうしなければならない」が含まれます。
これを例文を交えながら、1つずつ見ていきます。
仕方なくしなければならない時の have to
1つ目は「仕方なく～しなければならない」ときです。
・歯医者に行きたくないけど、銀歯が取れたから行かなきゃ
・勉強したくないけど、テストが近いから勉強しなきゃ
・部屋を片付けないと
・弟の面倒を見なければならなかったんだよ
以上は自分の意思というよりも、「そうしなければならない状況」です。
これを英語にすると、こうなります。
・I have to go to the dentist.
・I have to study.
・I have to clean up my room.
・I had to take care of my younger brother.
日本語的には「～せざるを得ない」に近い部分もあります。
一般的なルールや義務の have to
2つ目は「一般的なルール」や「義務」がある場合です。
I have to buy the ticket to get on the bus.
→そのバスに乗るためにはチケットを買わなければならない。
（→社会的なルール）
I have to get up early tomorrow.
→明日は早く起きなければならない。
（→学校や仕事という義務）
I have to go to work today.
→今日は仕事に行かなければならない。
（→義務）
2・3人称の時も同じです。
You have to take your medication every day.
→あなたは毎日薬を飲む必要があります。
（→医者により服用が決められているから）
You have to buy the ticket to get on the bus.
→そのバスに乗るためにはチケットを買う必要があります。
（→社会的なルール）
You have to wear a swimming cap at this pool.
→このプールでは水泳帽を被らないといけません。
（→このプールのルール）
このように「have to」は自分の意思とは違う、外的な要因や周囲の状況による「義務」や「必要性」による「しなければならない」を表します。
肯定文の must のニュアンス
「must」のニュアンスは「自発的に～しなければならない」です。
自分の意思とは関係のない「have to」とは違い、自分の意思で行う時に使います。
例えば、自分の意思で
・歯医者に行かなきゃ
・勉強しなくちゃ
・もう行かなきゃ
と思った時は、
・I must go to the dentist.
・I must study.
・I must go now.
になります。
一方、2・3人称の「must」は、話し手による命令や強制、義務のニュアンスが含まれます。
つまり、ここには話し手の主観が現れています。
you must go to the dentist.
→あなたは歯医者に行かなければならない。
（→話し手の命令）
you must study.
→あなたは勉強しなければならない。
（→話し手の命令・強制）
You must read this book.
→あなたはこの本を読まなければならない。
（→話し手が決めた義務）
このように「must」は自分の意思による場合に使います。
否定文の have to と must の違い
否定文ではニュアンスが更に異なり、発言の強さが違います。
「not have to」は「～する必要はない」や「～する必要はないですよ」という柔いニュアンスです。
I don't have to clean my room.
→部屋を掃除する必要はないかな。
You don't have to eat it all.
→全部食べる必要はないですよ 。
一方、「must not 」は「～してはいけない」という強い禁止を表します。
I must not eat too much.
→（ダイエット中だから）食べ過ぎちゃ駄目だ。
You must not take pictures here.
→ここで写真を撮ってはいけません。
You must not eat too much.
→食べ過ぎ厳禁 。
使い方まとめ
【have to】
・そうしなければならないとき
・そういうルールのとき
・not have to は「～する必要はない」で、語感的には日本語と同じ
【must】
・自分の意思で自ら行うとき
・must not は「してはいけない」という強い否定