in the corner の意味
「in the corner」は「隅っこ」です。
例えば、「in the corner of the room」なら「部屋の隅」になります。
My dog is sleeping in the corner of the room.
→犬が部屋の隅で寝ています。
A group of men were sitting at the table in the corner.
→隅のテーブルに男性の集団が座っていた。
（引用：ENGLISH EX p424）
at the corner の意味
「at the corner」は「（通りなどの）角」です。
例えば、「the coffee shop at the corner」は「通りの角のコーヒーショップ」となります。
「～の角」は「of」が使われます。
There is a shop on the corner of the street.
→通りの角に店があります。
Let's meet at the coffee shop at the corner of the street.
→通りの角のコーヒーショップで会いましょう。
on the corner の意味
「on the corner」の意味は「at the corner」とほぼ同じなので、入れ替えて使うことができます。
ただし、「at the corner」は「角の地点」、「on the corner」は「少し広めの範囲」を表すことがあります。
何故なら、「on」は「～の上」を表し、「at」の持つ「点」のニュアンスよりも広いイメージになるからです。
そのため、2つの道が交差する角を示す場合は「on」が使われる傾向があります。
There is a good coffee shop on the corner of 49th Street and 9th Avenue.
→49番通りと9番通り（が交差する）の角（地）に良いコーヒーショップがあります。
※「Street = 東西に走る通り」、「Avenue = 南北を走る通り」
※「at the corner of」も実質同じ意味
（引用：ENGLISH EX p424）
around the corner の意味
「around the corner」は「すぐそこ」です。
「just around the corner」の形でもよく使われます。
これは距離的な意味だけではなく、時間的な「もうすぐ」の意味でも使われます。
直訳だと「角を曲がったところ」ですが、1つの慣用表現なので、角を曲がらない場合にも使われます。
It's just around the corner.
→すぐそこです。
The station is just around the corner.
→駅はすぐそこにあります。
I went to a new cafe around the corner today.
→今日、すぐ近くにできた新しいカフェに行きました。
The bakery is just around the corner from here.
→パン屋はここからすぐそこにあります。
Summer is just around the corner.
→夏はもうすぐです。
→夏はすぐそこまで来ています。
まとめ
・in the corner → 隅っこ
・at the corner → （通りなどの）角
・「at the corner」と「on the corner」はほぼ同じなので入れ替えられる
・「at the corner = 角の地点」、「on the corner = at よりも少し広めの範囲」に使われる傾向がある
・「around the corner」や「just around the corner」は「すぐそこ」
・「距離的な近さ」だけではなく、時間的な「もうすぐ」にも使われる
