in the hope of の意味と用法
「in the hope of doing」の意味は「~することを期待して」や「~することを望んで」です。
I moved to Tokyo in the hope of finding a better job.
私はより良い仕事を見つけられることを期待して東京に引っ越した。
He reached out in the hope of getting some advice.
彼はアドバイスを貰うことに期待して連絡した。
このように、文に続く形で「~することを期待して~した」という文章パターンが基本になります。
日本語的には「~を目的として」と考えることもできます。
「in the hope that節」の形
「in the hope」の後ろにthat節を置き、「~ということに期待して」とすることもできます。
こちらはよりフォーマルかつ書き言葉的です。
I studied hard in the hope that I would pass the exam.
私は試験に合格することを期待して一生懸命勉強した。
He turned the key again in the hope that the engine would start.
エンジンがかかる事を期待して, 彼は再びキーを回した.
(引用:ウィズダム英和辞典 第4版)
これらの文は「試験に合格できるであろうということ」と「エンジンがかかるであろうということ」を「期待して / 望んで」となります。
これを「I studied hard in the hope of passing the exam.」にしても意味的にはほぼ同じですが、こちらは「試験に合格することを目的として」のニュアンスに近いです。
in the hopes of との違い
「in the hopes of」と複数形になる場合もあぁります。
意味的には「in the hope of」と同じですが、「in the hopes of」の方がカジュアルです。
ドラゴンクエストIの例文

Mine allies made for Rimuldar in the hopes of finding clues as to the Princess's whereabouts.
They may even be at the cave in the quagmire by now...
「私の仲間たちは王女の居場所に関する手掛かりを見つけることを期待してリムルダールに向かった。今ごろは沼地の洞窟にさえいるかもしれない」
Mine allies = My allies → 私の仲間たち
make for → ~に向かう
X as to ~ → ~に関するX
whereabouts → 居場所 / 所在
quagmire → 沼地 / 泥沼
「in hopes of」の形
他にも「in hopes of」の形にもなり、よりカジュアルで、主にアメリカで使われる傾向があります。
形が違うだけで、「in the hope of」「in the hopes of」「in hopes of」はいずれも意味的には同じです。
まとめ
・「in the hope of doing」の意味は「~することを期待して」や「~することを望んで」
・日本語的には「~を目的として」のニュアンス
・文に続く形で「~することを期待して~した」という文章パターンが基本
・「in the hope that節」は「~ということに期待して」で、よりフォーマルかつ書き言葉的
・「in the hopes of」と「in hopes of」は「in the hope of」よりもカジュアルな言い方