jump the gun の意味
「jump the gun」の意味は、
・早とちりする
・先走る
・フライングをする
などで、早まった行動をしたり、焦って行動したりする時に使われるイディオムです。
ここでの jump（ジャンプ） は動詞として使われています。
徒競走などをする時のピストルの合図（the gun）を待たずに飛び出す（jump）ところを想像すると、分かりやすいと思います。
ちなみにフライングは和製英語です。
英語でフライングは「false start」と言います。
Don’t jump the gun の意味
「Don’t jump the gun」の意味は「jump the gun をするな」です。
つまり、
・焦るな
・落ち着け
・早まるな
などになります。
jump the gun の例文
I jumped the gun.
→早とちりしました。
I jumped the gun on this one.
→（これについて）早とちりしました。
I may have jumped the gun.
→先走り過ぎたかも。
Let’s not jump the gun.
→落ち着きましょう。
The press jumped the gun on this case.
→新聞はこの件に関して先走って報道した。
（ウィズダム英和辞典 第四版 より）