learn by heart の意味とニュアンス
「learn ～ by heart」の意味は「～を暗記する」や「～を覚える」です。
ここには「何も見なくても思い出せる状態になること」というニュアンスがあります。
Actors have to learn their lines by heart.
（引用：ロングマン現代英英辞典）
俳優はセリフを覚えなければならない。
First of all, learn the formula by heart.
何よりもまず、公式を暗記しなさい。
（引用：DUO3.0 例文166）
My son learned the poem by heart.
息子はこの詩を暗記した。
※詩を暗唱できるくらいには覚えている状態にした
「learn by heart」と「memorize」の違い
「learn by heart」と「memorize」は意味的には同じなので、多くの場合で言い換えることができます。
ただし、「learn by heart」は「by heart（心によって）」が付いているように、理解度の高さや感情によって完全に心に刻み込まれているようなイメージがあります。
一方、「memorize」は「意識的に記憶すること」や「情報を正確に覚えること」を意味し、ただ単に「～を覚えている」ことを示しているため、幅広く使えます。
それにより、「memorize」は感情的なニュアンスは薄いため、勉強やテスト、何らかの情報などの暗記などに対して使われる傾向があります。
I memorized the poem.
その詩を覚えた。
※ただ「覚えた」という事実を述べる
I need to memorize these vocabulary words for the exam.
試験のためにこれらの語彙を覚える必要がある。
She memorized his phone number after hearing it once.
彼女は彼の電話番号を一度聞いただけで覚えた。
learn by rote の意味とニュアンス
「learn ～ by rote」は、日本語の「丸暗記」に近いニュアンスを持ちます。
主に「機械的に繰り返して覚える作業」や「理解を伴わない暗記」に対して使われます。
「rote」は「機械的な」や「丸暗記」という意味があり、「rote learning（丸暗記学習）」はネガティブな意味でも使われます。
よって、「learn by heart = 心に刻む」だとしたら、「by rote = 機械的 = 丸暗記という作業」という違いがあります。
He learned the answers by rote.
彼は答えを丸暗記した。
If you have a good memory, you can learn by rote.
（引用：ロングマン現代英英辞典）
もし記憶力が良ければ、丸暗記できます。
Learning vocabulary by rote isn’t as effective as using the words in context.
語彙を丸暗記することは文脈の中で単語を使うことほど効果的ではない。
語彙を丸暗記するよりも、文脈で単語を使う方が効果的だ。
know by heart の意味
「know ～ by heart」の意味は「～を覚えている」で、「完璧に覚えている状態」を指します。
何故「know by heart = 覚えている」になるのかは「心で知っている状態」だと考えると、「learn by heart = 心で学ぶ」との対比からもイメージしやすくなると思います。
例文
I know the lyrics by heart.
その歌詞を覚えています。
※歌詞を完璧に覚えて暗唱できるような状態
My daughter knows all the multiplication tables by heart.
娘は九九を完璧に覚えています。
I know this song by heart because I've sung it so many times.
この歌は何度も歌ったので完璧に覚えています。
He knows his speech by heart, so he doesn’t need notes.
彼はスピーチを暗記しているので、メモは必要ありません。
I know the poem by heart.
私はその詩をそらで言える。
（引用：ウィズダム英和辞典 第4版）
まとめ
・「learn ～ by heart」は「～を暗記する」や「～を覚える」で、「何も見なくても思い出せる状態になること」というニュアンス
・「learn by heart」と「memorize」は意味的には同じ
・ただし「learn by heart = 理解度の高さや感情によって完全に心に刻み込まれているようなイメージ」なのに対し、「memorize = 意識的に記憶すること / 情報を正確に覚えること」を意味し、ただ単に「～を覚えている」ことを示している
・「learn ～ by rote」は「～を丸暗記する」で、「機械的に繰り返して覚える作業」や「理解を伴わない暗記」に対して使われる
・「know ～ by heart」は「～を覚えている」で、「完璧に覚えている状態」を指す
