「never A without doing」または「can't A without doing」は「～することなしでAすることは（決して）ない」と訳されます。
正直分かり難く、頭にも残りません。
何故これが分かり難いかというと、二重否定になっているからです。
この記事では、例文を参考にしながら分かりやすい考え方をご紹介しようと思います。
never ～ without の意味と使い方
I never travel without taking my camera.
→私はカメラを持たずに旅行することはありません。
このような二重否定文を考える時は2つに分けてみます。
・I never travel（私は旅行をしない）
・without taking my camera（カメラを持つことなしに）
つまり、「私は旅行しないんですよ、カメラを持たずに」となり、少し意味が取りやすくなると思います。
特にスピーキングや英作文の時、文の前半から段階的に意味を取っていくと楽になります。
日本語的に訳すと「私は旅行する時はいつもカメラを持って行きます」ですが、こっちの方が分かりやすいので、こちらの訳で覚えておくのも1つの手です。
ただし、肯定文と二重否定では文のニュアンスが異なることは覚えておく必要があります。
基本的に、英語は肯定文よりも二重否定の方が意味合いが強くなるからです。
以上のことを頭に入れつつ、次の例文を見てみます。
never without の例文
The athlete never does his daily exercise routine without stretching and warming up first.
→その運動選手は、最初にストレッチやウォーミングアップをせずに、日々の練習日課をこなすことは決してしない。
（速読速聴・英単語Core1900 p387より）
2つに分けると、
・The athlete never does his daily exercise routine.
・ Without stretching and warming up first.
となります。
日本語的に訳せば「日々のエクササイズルーティーンをする時はいつも最初にストレッチやウォーミングアップをします」です。
次の例文はDUO3.0の例文です。
I cannot look back on my adolescence without feeling depressed.
→自分の思春期を振り返ると、いつも憂鬱な気分になる。
こちらは「Aする時はいつも～をする」で訳されています。
これを先ほどの考え方に合わせると、
・I cannot look back on my adolescence.
（思春期を振り返ることはできない）
・without feeling depressed.
（憂鬱な気分にならずに）
となります。
このように、二重否定の場合は1文で捉えるのではなく前半と後半で分けて考えたり、日本語的な肯定文として考えると分かりやすくなります。
never ～ without の言い換え
never（can't） ～ without の二重否定を肯定文で言い換えるとこうなります。
Whenever I travel, I take my camera.
→私は旅行する時はいつもでもカメラを持って行く。
「never（can't） ～ without」を「Aする時はいつも～をする」として覚えてもいいのですが、先述のように、肯定文よりも二重否定の方が意味が強くなる点には注意が必要です。
二重否定が分かり難い理由
次の例文は、そもそも二重否定で訳すことが難しい例です。
I never meet him without talking about baseball.
→彼と会うといつも野球の話になる。
二重否定で訳すと「野球の話をすることなしに彼とは決して会わない」になり、ややこしいことになります。
ややこしい理由は、そもそも英語の持つニュアンスのまま日本語に訳すのが難しいからです。
まとめ
・「never A without doing」「can't A without doing」は「～することなしでAすることは（決して）ない」という二重否定
・文を前半と後半に分けて考えてみる
・訳す際は「Aする時はいつも～をする」で考えると分かりやすい
・ただし肯定文より二重否定の方が意味が強いので注意