on my way out の意味
「on my way out」の意味は「（どこどこへ）向かうところ」や「出るところ」です。
どこかに出かけるところだったり、向かうところである状況を表し、副詞的にも使われます。
フルで言うと「I'm on my way out（向かうところ / 出るところです）」になりますが、会話では「On my way out」だけでも使われます。
また、「on my way out to ～」のように、後ろに場所や動詞を置き、「～に行くところで」や「～するところで」とすることもできます。
On my way out to work right now.
→今仕事に行くところ。
On my way out to work, My mom always tells me “Take care”
→仕事に出かける時、いつも母は私に「気を付けて」と言う。
I'm on my way out to get Christmas decorations.
→クリスマスの飾りを買いに行くところです。
I saw him on my way out to go to the gym last night.
→昨夜、ジムに行く時に彼を見たよ。
on one's way の意味
「on one's way」は「途中で」という意味で副詞として使われます。
「on one's way to ～」の形で「～の途中で」になります。
ただし、後ろに続くのが「home」「here」「there」などの場合、「on one's way home」のように「to が付かない」ので注意が必要です。
これは「go to home」ではなく「go home」、「go to abroad」ではなく「go abroad」になるのと同じです。
これらは「家に」や「外国に」という副詞として使われているため、「to」を置く必要がないからです。
以上のことから、「on my way out」と「on one's way」の違いは
・「on my way out」は「行こうとしているところ」
・「on one's way」は「（one's が）どこかに行く途中」
になります。
I'm on my way.
→途中です。
I'm on my way to the station.
→駅に向かっている途中です。
He was on his way to the post office.
→彼は郵便局に行く途中でした。
On my way to the clinic, I’m so nervous.
→病院に向かっているけど、めっちゃ緊張する。
（This is）Me on my way to McDonald's.
→（これは）マクドナルドに向かっている時の私。
On her way home she was robbed of her purse.
→彼女は帰宅途中にハンドバッグを奪われた。
（DUO3.0より）