「search」と「search for」の意味は似ていますが、実は使い方が異なります。
更に「search A for B」の形もあります。
そのせいで意味を取り違える可能性があるので、それらの違いを例文を交えながら1つずつ見ていきます。
search と search for の違い
「search」と「search for」はどちらも「～を探す」という訳が当てられます。
しかし、同じ「探す」でも、その意味合いは異なります。
・search ～ → ～（場所など）を捜索する / よく調べる
・search for ～ → ～（人や物など）を探す
次は細かいニュアンスの違いを見ていきます。
search の意味と使い方
「search」は「場所やモノの中を捜索する / よく調べる」の意味があります。
She searched the car.
→彼女は車の中を調べた。
この文は、「車」を探すのではなく、「車の中」を探すという意味になります。
言い換えると、
「対象物を探す」のではなく、「対象物を見つけるために、その場所を捜索する」
となります。
search の例文
He searched the house.
→彼は家の中を捜索した（家宅捜索した）。
The police searched her bag.
→警察は彼女のバッグの中を調べた。
The kids searched the shelf.
→子供たちはその棚の中を探った。
映画『ゴッドファーザー』の例文
They'll search me when I meet them, right?
ボディー・チェックはするだろ
映画『ゴッドファーザー（part1）』より、マイケルのセリフです。
「They」は、マイケルがレストランで会う予定の、とある2人を指しています。
その彼らが「会った時に（銃を持っていないか）私を身体検査するだろう」と言っています。
このように、「search +人」で「その人を捜索する」、つまり「身体検査をする」という意味になります。
search for の意味と使い方
「search for」の意味は「（対象物）を探す」です。
She searched for the car.
→彼女は車を探した。
「search the car」が「車の中を捜索 / 調べる」なのに対し、「search for the car」は「車そのものを探す」になります。
「He searched for the house.」
なら
「彼はその家を探した」
という意味になります。
もう1つ例文を見てみます。
We searched for the lost dog.
意味は「私たちは迷子になった犬を探した」で、犬そのものを探すことを意味しています。
search for の例文
They searched for the lost kitten.
→彼らは行方不明になった子猫を探した。
The kids searched for potato chips.
→子供たちはポテチを探した。
They searched for happiness.
→彼らは幸せを探した。
ドラゴンクエスト6の例文
…And so I call upon you to search for the relic known as ra's mirror.
直訳「そして、私はあなたにラーの鏡として知られる遺物を探すよう求めます」。
ここでは「ラーの鏡という物」を探すので、「search for」が使われています。
「call upon 人 to」の意味は「人に～するよう求める」で、「call on 人 to」と同じです。
違いは upon の方がフォーマルな言い方になります。
ここでは王様の言葉なので、形式的な upon が使われています。
「relic」は「遺物」という意味で、「歴史的 / 文化的な遺物」の意味合いがあります。
「known as ～」は「～として知られる」で、この文では分詞として relic を修飾しいています。
search A for B の意味と使い方
「search A for B」は、上記の「search」と「search for」が合わさった形です。
言い換えると「Bを求めてAを探す」です。
We searched the forest for the missing girl.
→私たちは行方不明の少女を探すためにその森を捜索した。
この文は「行方不明の少女を求めて森を探す」となります。
The imaginative kids made believe they were shrewd private detectives and they searched the vacant building for clues to solve the imaginary mystery.
→想像力豊かなその子供達は探偵ごっこを行い、架空のミステリーを解く手がかりを求めてその空き家を捜索した。
（ALL IN ONE 例文59 より）
この文も、「searched the vacant building for clues（手がかりを求めて空き家を捜索した）」となります。
imaginative → 想像力豊かな
make believe that節 → ～のふりをする
shrewd → 明敏な
private detective → 私立探偵
vacant → （部屋や場所などが）空いている
solve → ～を解決する
imaginary → 想像上の / 架空の