take a peek の意味
「take a peek」の意味は「チラッと覗く」や「チラッと見る」です。
Can I take a peek at your notes?
ノートをちょっと見せてもらってもいい？
She took a quick peek inside the box.
彼女は箱の中をサッと覗いた。
Take a peek inside British prince's spectacular gardens
英国王子の壮大な庭園を覗いてみよう。
（引用：Prince Charles' private Highgrove gardens -- take a rare peek | CNN）
peek の意味
自動詞「peek」の意味は「ちらっとのぞく」や「ぬすみ見る」です。
「take a peek」は名詞の「peek」が使われており、「少し」のニュアンスが強くなります。
これは「look」だけでも「見る」という意味があるのに、「take a look（ちょっと見る）」の形を取るのと同じです。
take a sneak peek の意味
「take a sneak peek」の意味は「take a peek」とほぼ同じです。
しかし、「sneak（こそこそする）」の意味から、「こっそり覗く」のニュアンスが強いです。
スラング的な「sneak peek」
以上の意味から転じて「映画や商品などが発売される前の先だし」の意味でも使われます。
Here's a sneak peek of next week’s episode.
来週のエピソードをこっそりお見せします。
※ドラマなどの次回予告など
他にも、「先行上映」「プレビュー」「チラ見せ」「舞台裏」などに対して使われます。
まとめ
・「take a peek」の意味は「チラッと覗く」や「チラッと見る」
・「take a sneak peek」の意味も「take a peek」とほぼ同じ
・「sneak（こそこそする）」の意味により「こっそり覗く」のニュアンスが強い
・「sneak peek」は「先行上映」「プレビュー」「チラ見せ」「舞台裏」などの意味でも使われる
