take effect の意味
「take effect」の意味は「（法律などが）施行する」や「（薬などが）効く」で、自動詞的に使われます。
「effect」は「影響」や「効果」、「（薬などの）効用・ききめ」を表す名詞です。
いずれも「効果・効力が生じる」というニュアンスがあります。
そのような effect を take（取る）するイメージです。
これは「take measures（手段・対策を取る）」や「take medicine（薬を飲む）」と同じ使い方です。
ちなみに、「side effects」は「副作用」という意味になります。
take effect の例文
The medicine started to take effect.
→薬が効き始めた。
The medicine takes effect in 15 minutes.
→薬は15分で効果が表れます。
The new law takes effect in July.
→新しい法律は7月に発行します。
The stay-at-home order takes effect Monday and runs through Dec. 20.
→ステイホーム令は月曜日から12月20日までです。