take the reins の意味
「rein（レイン）」は「手綱」という意味の名詞です。
主に「reins」と複数形で使われます。
そこから、「take the reins」または「take up the reins」の形で
・手綱を握る
・主導権を握る
・取り仕切る
という意味になります。
これには文字通り馬を操るために手綱を掴むことだけではなく、「統制・制御する」や「主導権を握る」という意味が含まれます。
日本語でも主導権を握ることを「手綱を取る」や「手綱を握る」と言います。
それと同じように、英語の「rein」も「統制」「制御」「抑制」のような意味を持ちます。
rein in の意味
先述の意味と関連して、「rein in」は「～を抑制する」や「～（出費など）を抑える」という意味になります。
「rein back」になることもあります。
手綱を引いて制御できる範囲内でコントロールするイメージです。
rein の例文
I need you to take the reins on this.
→あなたにこれを仕切って欲しい。
Can I take the reins on this?
→仕切ってもいいですか？
He took up the reins of government.
→彼は政権の主導権を握った。
Women take up the reins in the northern cattle industry.
→女性が北部の畜産業（牛）を取り仕切っている。
Consumers tend to rein in their spending in a recession.
→消費者は不況下では支出を抑える傾向がある。
There are no plans to rein in spending.
→支出を抑える計画はありません。