believe someone と trust someone の違い
「believe someone」と「trust someone」はどちらも「（誰々を）信じる」という日本語訳が当てられています。
しかし、この2つの単語には明確な違いがあります。
それは「相手の言葉を信じるか、相手自身を信じるかの違い」です。
更に「believe in」は少し違う意味を持ちます。
それらの違いを1つずつ見ていきます。
believe の意味
「believe」は「相手の言うことを信じる」です。
「I believe you.」と言った場合は「あなたの言うことを信じる」というニュアンスになります。
言うこととは、相手の言葉や話の内容などです。
「Believe me!」なら「私の言うことを信じて！」になります。
そこから、「Believe me.」は口語で「（私の言うことは）本当です」という意味でも使われます。
trust の意味
「trust」は「相手自身を信じる」です。
「I trust you.」と言ったら「あなたのことを信じる」。
「Trust me!」なら「私のことを信じて」となります。
「believe」と「trust」はどちらも「信じる」と訳されますが、実はこのようなニュアンスの違いがあります。
believe in の意味
他にも「believe in」があります。
これは「～の存在を信じる」や「～が正しいことだと信じる」という意味があります。
これは実例を見た方が分かりやすいので、1つ例文を見てみます。
「No one really believes in fairies, do they?」
（ALL INE ONE basic p63より）
意味は「妖精がいるって本当に信じている人はいないんでしょう？」です。
「believe in fairies」は「妖精の存在を信じる」で、幽霊、魔法、奇跡、神などのようなものを信じるという意味で使われます。
よって、「神を信じる」を英語では「believe in God」となります。
もう1つ例文を見てみます。
「I'll stand up for what I believe in and won't yield to any threats.」
（DUO3.0より）
「自分の信念を守るためには立ち上がるし、いかなる脅威にも屈しないつもりだ」
こちらは「（考えなどを）正しいと信じる」の意味で使われています。
関係詞what を使った「what I believe in」は「私が正しいと信じるもの（信じること）」として使われています。
まとめ
・「believe someone」はその人の言うことや話の内容などの言葉を信じること
・「trust someone」はその人自身を信じること
・「Believe me.」は「本当だよ」としても使われる
・「believe in」は「～の存在を信じる」や「～（考えなど）が正しいことだと信じる」