「under the umbrella of ～」の意味
「under the umbrella of ～」を直訳すると「～の傘の下」です。
これは日本語の「（～の）傘下」を意味し、ある意味ではそのままと言えます。
例文
Several companies operate under the umbrella of our parent corporation.
→複数の会社は当社の親会社の傘下で運営されている。
他には「～の保護のもとで」の意味もあり、いずれも傘の下に入るイメージがあります。
「～の1つ」の意味でも使われる
1つの傘の下で一緒になる所から、「～の1つとみなされる」や「～の1つのまとまりの中にある」となる場合もあります。
速読速聴・英単語Core1900 にはこのような文章が載っています。
例文
Dyslexia comes under the umbrella of gakushu shogai, but……
→ディスレクシアは学習障害のひとつとみなされるが……
（引用:速読速聴・英単語Core1900 p76より一部抜粋）
このように、動詞として使う場合は「come」or「work」＋ 「under the umbrella of ～」の形で使われます。
an umbrella organization の意味
「an umbrella organization」は「包括的組織」と訳されます。
umbrella は雨の日に差す「傘」以外は、傘下や包括的なという難しい意味で使われ、ビジネスやニュースなどで出てくるかたい単語です。
いずれも、広げた大きな傘の下に物事があるイメージをすると、単語の持つニュアンスを感覚的に理解しやすくなると思います。
