「What's wrong?」と「What's wrong with you?」は、似ているようで大きな違いがあります。
そのため、使い方に注意な必要なフレーズです。
この記事では、それらの違いと考え方を見ていきます。
What's wrong? と What's wrong with you? の意味と違い
「What's wrong?」は「どうしたの?」や「大丈夫?」という意味で、相手を心配するフレーズとしてお馴染みです。
一方、注意すべきなのは「What's wrong with you?」です。
これは、
・頭おかしいのか?
・君大丈夫?
・いったい何を考えているんだ?
・何なんだお前は
などのニュアンスを持つ攻撃的なフレーズになってしまいます。
SO2Rの例文

Allen, What is wrong with you!? You weren't like this before!
「アレン、どうしたの!? 前はこんなんじゃなかったのに!」
なぜ違う意味になるのか
形容詞「wrong」の意味は「調子の悪い」です。
そこから、「What's wrong?」は「何か調子悪いの? = 大丈夫?」となります。
それに「with you」が付くことで「調子が悪い原因があなたにある」ことになります。
Something is wrong with the car.
車の調子がどこかおかしい。
この文において「おかしいのは車」です。
そう考えると、「What's wrong with you? = お前が大丈夫か?」と「悪い意味の大丈夫」になってしまう理由が分かりやすくなると思います。
FF8の例文

Something's wrong with me, to...I...feel...sleepy...
「なんか変だ……眠気が……」
ここでは「Something's wrong with me.」の形で「私が何かおかしい」ことを意味しています。
以上のように、「with ○○」の用法に注意します。
まとめ
・「What's wrong?」の意味は「どうしたの?」や「大丈夫?」
・「What's wrong with you?」の意味は「お前大丈夫か?」などという攻撃的なフレーズ
・「Something is wrong with the car.(車の調子がおかしい)」という文は「おかしいのは "the car"」と考えると分かりやすい