without being able to の意味
「without being able to」の意味は「～できない状態で」で、文を補足する働きをします。
I had to leave without being able to say goodbye to everyone.
みんなに別れの挨拶をできないまま去らなければならなかった。
この文は「I had to leave（去らなければならなかった）」と「without being able to say goodbye to everyone（皆に別れの挨拶をできない状態で）」に分けられます。
ニュアンスとしては「別れの挨拶をする機会がないままで」です。
without doing との違い
「without doing（～しない状態で / ～せずに）」との違いは、「できずに」のニュアンスが入っているかどうかです。
ただ、先ほどの例文でいうと、どちらも「結果として挨拶をしていないことは同じ」なので、文脈によっては「without saying goodbye（別れの挨拶をせずに）」と言い換えることが可能です。
しかし、「挨拶をする機会がなかった」や「できなかった」ことを含めたいのであれば、「without being able to say goodbye」の方が適切です。
例文2
I kept working without being able to take a proper break.
ちゃんとした休憩を取れずに働き続けた。
この文は「きちんとした休憩を取ることができない状態で働き続けた」となります。
これが「without taking a proper break」になると「きちんとした休憩を取らない状態で（働き続けた）」となり、ニュアンスが少し異なります。
しかし、こちらも「結果として休憩を取っていないことは同じ」なので、文脈によっては言い換えることができ、「休憩を取る機会がなかった」ことを含めたいのであれば「without being able to」の方が適切です。
その他の例文
I fell asleep without being able to finish my homework.
宿題を終えられないまま眠ってしまっていた。
I watched the movie without being able to understand most of the dialogue.
ほとんどのセリフを理解できない状態で映画を観た。
※英語の勉強のために洋画を観たけど、全然理解できなかったような時など
We incorporate media literacy into the curriculum so as not to be exposed to media without being able to evaluate its content.
メディアの内容を評価できない状態でメディアに晒されないようにするため、私達は、メディアリテラシーを教育課程に組み入れています。
（引用：ALL IN ONE コンサイス 例文70）
まとめ
・「without being able to」の意味は「～できない状態で」
・「without doing（～しない状態で）」との違いは「できずに」のニュアンスが入っているかどうか
・文脈によっては「without being able to」は「without +doing」と言い換えられるが、「できずに / 機会がなく」のニュアンスを含めたい場合は「without being able to」の方が適切
