「Would you care to」の意味
「Would you care to」を簡単に言うと、「Would you like to」の仲間です。
「～しませんか？」という意味で、相手を誘ったり意思を尋ねる、より丁寧なフレーズになります。
文脈によっては「～してくれませんか？」という依頼の意味にもなります。
よって、Would you like to とほぼ意味と同じ使い方をします。
また、「Would you」が省略された「Care to do ～?」の形になると、少しカジュアルになります。
日本語的に言うと、「～しませんか？」と「～しません？」の違いに近いかもしれません。
「Would you care to」と「Do you want to」の違い
よりカジュアルなフレーズに「Do you want to ～?」があります。
こちらも意味は「～しない？」と相手を誘っている表現で、上記の care to や Would you like to と同じ使い方をしています。
こちらも文脈によって「～してくれない？」という、親しい人同士のカジュアルな依頼になります。
意味的には「Can you ～？」と同じです。
want to を「～したい」とだけ覚えていると、混乱しがちになるので注意が必要なフレーズです。
「care to」が丁寧になる理由
では、何故 care to が丁寧になるのかと言うと、直訳した方がイメージしやすくなります。
ここでの「care to」は「～したいと思う」や「～することを希望する」として使われています。
・「want to ～?」は「～したいですか？」
・「care to ～?」は「～したいと思いますか？」「～することを希望しますか？」
したいかどうかを直接尋ねるのではなく、したいと思うかと間接的に聞くことにより、丁寧さが出ていると考えると分かりやすと思います。
英語の場合、間接的だったり文章が長くなるほど丁寧になる傾向があります。
「care to」の例文
Would you care to come with us?
→私たちと一緒に来ませんか？
Would you care to join us?
→一緒に参加しませんか？
Care to join us?
→あなたも参加しない？
Would you care to join me for a drink after work?
→仕事の後に飲みに行きませんか？
Would you care to join us for dinner?
→一緒に夕食はどうですか？
Would you care to explain?
→説明して頂けますか？
Would you care to elaborate?
→詳しく述べていただけますか？
Would you like to help me?
→手伝ってくれますか？