英語で「音楽に合わせて踊る」
「音楽に合わせて踊る」の「～に」は、英語では「to」を使います。
We danced to the music.
私たちは音楽に合わせて踊った。
I enjoy dancing to the music, though I'm not good at it.
音楽に合わせて踊るのは楽しい。得意じゃないけれど。
（引用：DUO BASIC 例文182）
FF7Rの例文
they're nothing more than pawns of Wutai―puppets dancing to the tune of their foreign masters!
「彼らはウータイの手先に過ぎない―外国の主人の曲に合わせて踊る人形」
ここでは「dancing to the tune（曲に合わせて踊る）」が分詞として「puppets」を修飾しています。
そして、「puppets」は「pawns of Wutai（ウータイの手先）」を言い換えています。
「nothing more than」の意味は「～に過ぎない」です。
英語で「音楽に合わせて歌う」
「音楽に合わせて歌う」も「to」が使われます。
しかし、頻度は下がりますが、音楽の場合は「sing with the music」も割と使われています。
更に、最近では「sing along to the music」の形でも使われるようになっています。
例文
Everyone started singing along with the music.
みんなが音楽に合わせて歌い始めた。
Let's sing along to the music.
音楽に合わせて歌いましょう。
He loves to sing to piano accompaniment.
彼はピアノの伴奏に合わせて歌うのが大好きです。
to のニュアンス
この「to」は「～に合わせて」や「～と同時に」のニュアンスを持ちます。
そこから、「～に合う」という意味でも使われ、その代表が「key to a house（家の鍵）」です。
これは「家に合う鍵」というイメージです。
詳しくは「英語で「家の鍵」の2つの言い方【前置詞の使い方】」の記事をご覧ください。
