That was a close call の意味
「That was a close call.」には「危機一髪だった」という意味があります。
「close」は「閉まる」という動詞の「クロウズ」ではなく、「クロウス」という発音の形容詞です。
主な意味は「近い」「近接した」「親密な」です。
それ以外にも「きわどい」という意味があります。
一方、「call」は名詞ですが、この call が何を指しているのかは定かではないようです。
しかし、「（スポーツなどの）判定」や、主に口語で使われる「決定」や「判断」から来ている説があります。
それらを合わせた「close（きわどい）call（判定）」から、「危機一髪」という意味に繋がります。
また、応用として
「have (be) a close call with ～」
の形で
「～から危機一髪で逃れる（助かる）」
という使い方もできます。
更に、「That was close.」という形もあり、こちらは日本語で言う「間一髪」になります。
a close shave の意味
似たような意味に「a close shave」というものがあります。
これを直訳すると、「（ヒゲの）深剃り」ですが、危機一髪の意味も持ちます。
髭を不用意に深剃りしてしまい、危うく血が出そうだったけど、ギリギリ大丈夫だった、という場面を想像すると、「危機一髪」という使い方もイメージしやすくなると思います。
a close shave も a close call と使い方は同じです。
もちろん、本当に髭などを深剃りする場合は「have a close shave（深剃りする）」となります。
「黒ひげ危機一発」を英語で言うと？
おまけの話。
黒ひげ危機一発というおもちゃがあります。
本来は「危機一髪」ですが、ゲーム性と掛けて「危機一発」になっています。
このおもちゃを英語では「Pop-up Pirate」と言います。
英語では何にも掛かっていない名称です。
close call の例文
He had a close call with a great white shark.
→彼はホホジロザメから危機一髪で逃れた。
That was a close shave!
→危機一髪だった！
She had a close shave with death.
→彼女は死から辛うじて逃れた。
It was a close call for a driver.
→ドライバーにとって危機一髪だった。
What a close call!
→危ねえ！