start to do と start doing の違い
「start to do」と「start doing」 は、どちらも「～し始める」という意味です。
同じ意味として使われることが多いですが、それぞれが持つ本来のニュアンスは少し異なります。
「start to do」は「行為の開始地点」に視点が置かれており、その行為が継続しない場合もあります。
「start doing」は「その行為が始まってからある程度継続している」という含みを持ちます。
start to do と start doing の例文比較
例えば、「It started to rain.」という文。
意味は「雨が降り始めた」になりますが、これは「降り始めの地点」を強調しています。
そして、その行為が継続しない場合もあるため、雨が降り始めたけど、今は止んでいる可能性もあります。
言い換えると「雨が降り始めた（が、今も降っているかもしれないし止んでいるかもしれない）」になり、文脈によって変わってきます。
それに対し、「It started raining.」は雨が降り出してから少し時間が経っていることが示唆されます。
言い換えると「（少し前から）雨が降り始めた」になります。
ただし、会話などカジュアルな場面では、どちらも同じように使われることも多いです。
「start to」が行為が継続しない場合
She started to say something.
意味は「彼女は何か言い始めた」ですが、これは彼女が何か言い始めた地点に焦点があてられています。
そして、その行為が継続しない場合もあるため、「彼女は何か言いかけた（言いかけてやめた）」と訳されることもあります。
そのため、「何か言い始めて今も続いている」なのか「何か言いかけた」なのかは状況や文脈次第になります。
一方、「She started saying something.」は、彼女が何かを言い始めてから、その行為が継続しているニュアンスを持ちます。
よって、「彼女は今何かを言い始めたのではなく、言い始めてから少し時間が経っている」ような意味が含まれています。
そのため、「彼女は何か言い始めた」の意味にしかならず、「言いかけた」の意味にはなりません。
明確な意味合いの違い
最後に、コーパス・クラウン総合英語にはこのような例文と解説が載っています。
He started to talk to her, but he couldn't.
彼は彼女に話しかけ始めたが、できなかった。
He starting talking to her, and enjoyed it very much.
彼は彼女に話しかけ始め、彼女との会話をとても楽しんだ。
started to talk と言っても、話しかけようとしただけで実際話したことにはならない。
一方、started talking と言えば、実際話し始めたことになる。
（引用：コーパス・クラウン総合英語 p228）
このように、後ろに続く文によって明確な意味合いの違いが生まれることもあります。
ただ、先述のように、明確な区別が必要な場合以外、会話レベルでは to do も doing も同じように使われていることも多いです。
注意点は、start が進行形「be starting」になる場合は「be starting to do」の形になります。
その理由は「starting doing」と ing が2連続で続くことを避けるためです。
映画『ハリー・ポッターと賢者の石』の例文
Voldemort started to gather some followers.
"例のあの人"が仲間を集め 力を広げ始めた（日本語字幕）
魔法学校入学前、買い物を終えたハリーとハグリッドが食事をしているシーンです。
ここでは「仲間を集め始めた」という「始めた起点」に焦点が当てられていますが、この文だけだと詳細は分かりません。
しかし、その後に"例のあの人"が暴れまわることが言及されるので、集め始めた後まで行為が継続していること（集め始めた、そして～した）を意味します。
もしこれが「started gathering」だと「既に集め始めていて」のニュアンスを持ち、仲間を集め始めて少し経ったことが示唆されます。
まとめ
・「start to do」は「行為の開始地点」に視点が置かれている
・その行為が継続しない場合もあるため、文脈によっては「～しかけてやめた」のニュアンスにもなる
・「start doing」は「その行為が始まってからある程度継続している」という含みがある
・会話では「start to do」と「start doing」が区別されずに使われることも多い
