take a peek の意味
CNNにこのような記事があります。
「Take a peek inside British prince's spectacular gardens」
Prince Charles' private Highgrove gardens -- take a rare peek - CNN Video
「英国王子の（所有する）壮観な庭園の中を覗いてみましょう」
という意味です。
以上のように、「take a peek」は「チラッと覗く」という意味になります。
類似の表現
他にも、「take a sneak peek」という表現もあります。
これも「take a peek」とほぼ同じ意味になります。
名詞「sneak」は「こそこそすること」。
動詞だと、「こっそり立ち去る」や「こっそり動く」になります。
「peek」は「覗き見」や「盗み見」です。
よって、「take a sneak peek」＝「チラッと覗く」になります。
また、「get a sneak peek」とも言う場合もあります。
そして、それらの意味から転じ、
「sneak peek」は「（映画などの）先行上映」や「（商品などの）プレビュー」
という意味でも使われます。