no の意味と使い方
「no」の意味は「少しも～ない」や「1人（1つ）も～ない」です。
イメージとしては「no = ゼロ」を表しています。
品詞は形容詞なので、「no + 名詞」の形で使われ、「名詞がゼロである」ことを表します。
名詞は単数・複数どちらも置くことが可能です。
以上のことを踏まえて例文を見てみます。
例文
I have no money.
お金が少しもない。
I have no friends.
友達が一人もいない。
There were no clouds in the sky.
空には雲一つなかった。
There was no other way.
別の方法が無かった。
There were no children in the shop.
店に子供は一人もいなかった。
We have no snow in Singapore.
シンガポールでは雪は降りません。
このように名詞の前に置き、「名詞がゼロである」ことを表すのが基本的な使い方です。
「決して～ではない」という意味の「no」
「no」には「決して～ではない」という強い否定を表す意味もあります。
She is no fool.
彼女は決して馬鹿ではない
この文は、「no」が「fool」であることを強く否定しています。
つまり、ここには「馬鹿ではなくむしろ賢い」というニュアンスが含まれています。
これは日本語でも同じく、「あの人は決して馬鹿ではないよ」と言った時に「むしろ賢い」のニュアンスを持つのと一緒です。
この使い方では「～の要素はゼロ」と考えると分かりやすいと思います。
例文
She is no friend of ours.
彼女は決して私たちの友達なんかではないよ。
He is no gentleman.
彼はとても紳士と言えない。
※むしろ紳士とは真逆のニュアンス
She is no beginner.
彼女は決してビギナーではない。
※むしろ経験豊富のニュアンス
He is no father.
彼は決して父（というもの）なんかではない。
※父親の資質・資格がないのニュアンス
He is no lawyer.
彼は決して弁護士なんかではない。
That's no easy task.
それは決して楽な作業ではない。
※間に形容詞が挟まる場合もあり
FF10の例文
You're no amateur. Who you play for?
「You're no amateur.」は「あなた（ティーダ）は決してアマチュアではない」ですが、ここには「むしろプロレベルである」のニュアンスがあります。
そこから、「Who you play for?（どこのチームでプレイしているんですか？）」と聞きます。
※「Who do you play for?」の略
「どこ」は「who」が使われます。
no と not の違い
違いの例として、「She is no fool.」と「She is not fool.」を比べてみます。
先述のように、「She is no fool.」は「彼女は決して馬鹿ではない（むしろ賢い）」という意味です。
一方、「She is not fool.」はただ単に「彼女は馬鹿ではない」ということを言っているだけで、賢いというニュアンスはありません。
・no fool → 決して馬鹿ではない（むしろ賢いのニュアンス）
・not fool → 別に馬鹿とかではない（何なら普通の人）
That was no apology. の意味
「That was no apology.」の意味は「あれは決して謝罪なんかではない」です。
この文は「apology（謝罪）」を否定し、「決して謝罪ではない（むしろ全く謝っていない / 馬鹿にしている等）」になります。
一方、「That was not apology.」は「あれは謝罪ではない」というただの否定です。
まとめ
・「no」は形容詞で、名詞の前に置かれる
・「no = ゼロ」を表し「no + 名詞（名詞がゼロである）」となる
・「no」は「決して～ない」という強い否定でも使われ、「～の要素はゼロ」のイメージ
・「むしろ～である」のニュアンスが含まれる
・「not」は「～ではない」というただの否定で、「no」とは異なる点に注意
