interfere in と interfere with の違い
「interfere」の意味は「干渉する」です。
それに「in」が付くことで「～に干渉する」や「～に口出しをする」となります。
Please don't interfere in my personal matters.
→私の個人的な問題に口出ししないで下さい。
The U.S. frequently interferes in Japan's domestic affairs.
→米国は頻繁に日本の国内問題に干渉する。
（引用: DUO select 例文202）
You have no right to interfere in our life.
→我々の生活に口出しする権利は君にはない。
（引用: ウィズダム英和辞典第4版）
How does one country interfere in the internal affairs of another country?
→ある国が他の国の内政にどのように干渉しますか？
これは日本語の「干渉」と同じニュアンスです。
一方、「interfere with」の意味は「～の邪魔をする」や「～を妨げる」です。
Flies and mosquitoes interfered with his meditation.
→ハエと蚊が彼の瞑想の邪魔をした。
（引用: DUO3.0 例文548）
All they did was interfere with smooth running operations.
→彼らがしたことは円滑な運営を妨げることだけでした。
こちらも大きく言えば「干渉」ですが、ここには「何らかの進行を妨げたり影響を与える」というニュアンスがあります。
interefere と interrupt の違い
似た単語に「interrupt」があります。
「interrupt」の意味は「（話など）をさえぎる」や「～を中断させる」です。
また、自動詞として「さえぎる」の意味でも使われます。
「interfere」との違いは、「interrupt」は「アクションを一時中断させる」というニュアンスを持つ点です。
I'm sorry to interrupt.
→お話し中すみません。
※相手の話をさえぎって話しかけた時の「お忙しいところすみません」
※相手が話している時に「話を止めてすみません」の意味でも使われる
Don't interrupt me when I'm talking.
→私が話している時に邪魔をしないで下さい。
May I interrupt for a moment?
→少しよろしいですか？
As soon as we started our conversation, Bob interrupted.
→私たちが会話を始めた途端、ボブが割り込んできた。
（引用: DUO select 例文246）
Sorry to interrupt your meal but I'd like a word with you in private.
→食事の邪魔をして悪いんだけど、ちょっと内密に話がしたいの。
（引用: DUO3.0 例文309）
以上のように、「話をさえぎる」や「食事をさえぎる」のように「今やっていることを中断させる」の意味で使われます。
interfere の語源
「interfere」の語源は、古フランス語「enterferir」にあります。
・enter → 間（between / among）
・ferir → 打つ（strike）
よって、元の意味は「enterferir = strike each other（お互いに打ち合う）」です。
そこから、1630年代に比喩的な意味として「干渉」になりました。
まとめ
・「interfere in」は「～に干渉する」や「～に口出しをする」
・「interfere with」は「～を邪魔をする / 妨げる」
・「進行を妨げたり影響を与える」というニュアンス
・「Interrupt」は「（話など）をさえぎる」や「～を中断させる」
・「アクションを一時的に中断する」というイメージ
