brush up と brush up on の意味
「brush up」と「brush up on」の意味は「（技術や知識など）を磨き直す」です。
ここには「過去に学んだことのあるものをやり直す」のニュアンスがあります。
言い換えると、「過去のスキルを磨き直す」や「過去のスキルを取り戻す」です。
I want to brush up my English.
I want to brush up on my English.
→英語の勉強をやり直したいです。
この2つの文は、過去に英語を学んだことがあり、それを再び「brush up（磨き直したい）」という意味になります。
カタカナの「ブラッシュアップ」は和製英語
主にビジネスの場において、カタカナの「ブラッシュアップ」はよく使われます。
特に「～に磨きをかける」や「（スキルなどを）向上させる」、「細かい箇所の修正」など、「より良くする」のニュアンスで使われることが多いです。
しかし、英語の「brush up」には「良くする」の意味はありません。
英語の意味は、あくまで「過去に学んだことの磨き直し」です。
「ブラッシュアップ」に近い3つの単語
「ブラッシュアップ」に近い表現には「refine」「improve」「polish up」があります。
いずれもカタカナのブラッシュアップに近いニュアンスを出すことができます。
refine の意味
「refine」の意味は「～を洗練させる」や「～を向上させる」です。
We need to refine our presentation.
→プレゼンを洗練させる必要がある。
improve の意味
「improve」の意味は「～を改善（改良）する」や「～を上達させる」です。
I want to improve my English.
→英語を上達させたいです。
polish up の意味
「polish」は「～を磨く」という意味があり、そこから「polish up」の意味は「～を磨き上げる」や「～をより良くする」になります。
I want to polish up my English.
→英語を磨き上げたい。
※既にある程度の英語力があり、そこから更に良くしたいニュアンス
まとめ
・「brush up」と「brush up on」はの意味は「（技術や知識など）を磨き直す」
・過去に学んだことのあるものをやり直すニュアンス
・カタカナの「ブラシュアップ」は実質和製英語で、英語の意味とは異なるので注意
・「brush up」には「改善する」や「良くする」の意味はない
・「ブラシュアップ」に近い単語は「refine」「improve」「polish up」
