take the trouble to の意味と例文
「take the trouble to do」には「（手間などを掛けて）わざわざ～する」や「苦労を惜しまず～する」という意味があります。
He took the trouble to drive me home.
→彼はわざわざ私を家に（車で）送ってくれた。
She always takes the trouble to put on makeup.
→彼女はいつも化粧をする（という手間を惜しまない）。
It was worthwhile my taking the trouble to apply for a local authority grant.
→わざわざ地方助成金の申請を行った甲斐があった。
（引用：ALL IN ONE 例文340より一部抜粋）
何故この意味になる？
「trouble」には「面倒なこと」や「手間」という意味があります。
「その面倒ごとや手間（the trouble）を取る（take）」ところから「わざわざする」になると考えると分かりやすと思います。
また、「take」には「～を要する」という意味があるので、「～するのに手間を要する / 手間がかかる」と考えてもいいと思います。
take the trouble to の言い換え表現
言い換え表現には「go to the trouble to do」があり、意味的には同じです。
また、「go to the trouble of doing」の形になる場合もあります。
He went to the trouble to drive me home.
→彼はわざわざ私を家に（車で）送ってくれた。
She went to the trouble of coming to see me.
→彼女はわざわざ私に会いに来てくれました。
まとめ
・「take the trouble to do」の意味は「（手間などを掛けて）わざわざ～する」や「苦労を惜しまず～する」
・「go to the trouble to do」と言い換えられる
・「go to the trouble of doing」の形にもなる
