go to the dogs の意味
「go to the dogs」には「（国や組織などが）落ちぶれる / 落ち目になる」や「ダメになる」という意味があります。
例文
He went to the dogs.
→彼は落ちぶれた。
Our company is going to the dogs.
→会社がダメになり始めている。
It started to go to the dogs.
→落ちぶれ始めた。
Local politics will go to the dogs if we do nothing.
→我々が何もしなければ、地方政治は悪化するだろう。
ドラクエ8の例文
No, wait a minute… Maybe it was the other way round. Maybe he started drinking AFTER his fortune-telling went to the dogs…?
「いや、ちょっと待てよ…おそらく逆だ。彼の占いがダメになった後に飲み始めたのかも」
「He = ルイネロ（英語名 Kaldersha）」は、飲み始めてから占いがダメになったと思っていましたが、実はその逆だったのでは……？という話です。
「the other way round」の意味は「逆に」や「反対に」です。
go to the dogs の語源
「go to the dogs」の由来は、中世において残飯や悪くなった食べ物を犬に食べさせていたことから「堕落」や「荒廃」の意味を持つようになったという説があります。
他には食べ物に困った人間が、犬（が生活しているような場所）の方へ行ったという説もあります。
しかし、正確な由来は定かではありません。
似たようなイディオムには「go to pot」があります。
