「grow on （someone）」は直訳すると、
「（人）の上で育つ」になります。
分かるようで分からない「grow on」の意味とは。
「grow on （someone）」の意味
「grow」は「育つ」や「～を育てる」という意味を持つ動詞です。
また他にも、
「（変化して）～になる」や「（徐々に）増える / 増大する」
という意味もあります。
そこから、「grow on （someone）」は
「（人の中で）興味や関心などが徐々に増してくる」
というイメージになります。
つまり、
「（主語） grow on （someone）」
という文は
「（someone）が、だんだん（主語）を好きになる」
という意味になります。
日本語だと、
「興味がわいてくる」「心を引かれる」「愛着がわいてくる」「思いが募る」
などになると思います。
「（someone）を好きになる」と勘違いしがちなので、注意が必要です。
少し分かり難いため、下記の例文を見た方がイメージしやすくなると思います。
「have grown to love / like」の形
「grow on」は、
「have grown to love ～」または「have grown to like ～」
と置き換えることができます。
ニュアンスは同じく、「～が好きになってくる」です。
こちらの形の方が文法通りで、意味が頭に入ってきやすいです。
例文
He grows on you.
→あなたは彼のことをだんだん好きになる。
You've grown on me.
→私はあなたのことがだんだん好きになってきた。
She has grown on me.
→私は彼女のことがだんだん好きになってきた。
This town has grown on me.
→この街が好きになってきた。
My new haircut is starting to grow on me.
→新しい髪形を好きになり始めている。
Beer is starting to grow on me.
→ビールが好きになり始めている。
This place will grow on you.
→あなたはだんだんこの場所が好きになるでしょう。
I think It will grow on you.
→あなたはそれをだんだん好きになると思う。
I hated English at first, but it has grown on me.
→最初は英語が大嫌いだったけど、だんだん好きになってきた。
I've grown to like it.
→それを好きになってきている。
I’ve grown to love listening to guitar.
→ギターの音を聞くのが好きになってきている。
I've grown older.
→私も歳を取ってきている。