「run for」は「立候補する」という意味が有名です。
しかし実は、他にもいくつかの意味と使い方があります。
・立候補する
・期間を表す使い方
・逃げる
これらを1つずつ見ていきます。
立候補を表す run for の意味
1つ目は「～に立候補する」です。
後ろには何に立候補するかが入ります。
少し分かり難いのが「run for office」で、意味は「（公職）選挙に立候補する」です。
She may run for office.
→彼女は選挙に立候補するかもしれない。
He'll run for president in 2024.
→彼は2024年の大統領に立候補するだろう。
Ted, who is often referred to as a man of integrity, is going to run for mayor.
→高潔な人物だと度々称されるテッドが，市長に立候補する。
（DUO3.0より）
何故 run for が立候補になるのか
では何故 run for が立候補になるのかと言うと、ネタは「run」にあります。
run には「（競争種目に）出場する / 走る」や「（馬が競馬に）出走する」という意味があります。
そこから立候補に繋がっていきます。
これは選挙に出ることを「出馬」と言う日本語と同じなので、run for = 立候補のイメージはわきやすくなると思います。
期間を表す run for
2つ目は「上演される」や「続く」です。
イベントやプロジェクト、何らかの試みが「～の間続く」という意味で使われます。
for の後ろには期間が入ります。
これは舞台やミュージカル、映画の「ロングラン公演（long-run）」が分かりやすいと思います。
The initial program will run for a period of two years.
→この最初のプログラムは、2年間にわたって実施される予定だ。
（Core1900 p110 より）
［under a pilot international tourism bubble project that will run for three months.］
Malaysia is set to reopen the tourist haven of Langkawi islands to overseas visitors, under a pilot international tourism bubble project that will run for three months https://t.co/0AnoF5vA2d
— Bloomberg (@business) October 22, 2021
Run for your lives! の意味
「Run for your lives!」の意味は「命がけで逃げろ！」です。
ここでの run for は「（人や動物が）逃げる」として使われています。
直訳だと「命のために走る」ですが、多くは「逃げろ」というニュアンスで使われます。
ただ、命のために走るでも意味は理解できます。
また、バラエティ番組に「run for money 逃走中」というものがあります。
逃げた時間分の賞金を獲得できるので、「お金のために逃げろ」の意味が込められていると思われます。
run for cover の意味
似たような表現に「run for cover」があります。
ここでの「cover」は「避難所」や「安全な場所」という意味で使われています。
そして、「run（走る）+ for（～へ）」で、急いでどこかへ行くニュアンスがあります。
そこから、run for cover の意味は「安全な場所に（急いで）逃げる」となります。
これは主に悪天候や自然災害のような状況や、爆弾や銃弾から逃れる時に使われます。
また、「あぶない刑事リターンズ」のサントラに「RUN FOR COVER」が入ってます。
ちなみに「もっとあぶない刑事」には「RUN FOR YOUR LIFE」もあります。
Some people ran for cover from the rain.
→雨から逃げる人もいた。
After the sound of gunfire, people ran for cover.
→銃声の後、人々は急いで安全な場所に逃げた。
Why he didn't run for cover?
→何故彼は逃げなかったの？