show promise の意味
名詞「promise」は「約束」という意味です。
そしてもう1つ、
・（将来の明るい）見込み
・（前途）有望
・希望
・兆し
などという意味もあります。
そこから、「show promise」は「見込みを見せる（示す）」。
つまり、「見込みがある」や「将来有望である」という意味になります。
show promise の例文
His kid shows promise as a footballer
→彼の子供はフットボール選手として見込みがある。
The student shows promise in math.
→その生徒は数学で将来有望です。
They show great promise.
→彼らは大いに見込みがある。
There is no promise.
→見込みがない。
the promise of spring
→春の兆し