strike up a conversation の意味と使い方
「strike up」には「（会話・交友を）始める」という意味があります。
そこから、「strike up a conversation」の意味は「会話を始める」となります。
また、文脈によっては「（～に）話しかける」という意味にもなります。
「～と」と言いたい場合は「with」が置かれます（詳しくは例文にて）。
意味的には「start a conversation」と同じですが、strike up a conversation の方が口語的です。
strike up a friendship の意味
「strike up a friendship」の意味は「友情を築く」や「親しくなる」です。
「strike up」の「（交友を）始める」や「（親交を）深める」という意味から来ています。
他にも、「strike up a relationship」で「関係を築く」という使い方もあります。
strike up の例文
She struck up a conversation with someone I don't know.
→彼女は私の知らない人と会話を始めました。
I struck up a conversation with the boy sitting next to me.
→隣に座っていた男の子に話しかけました。
Don't strike up conversations with strangers.
→知らない人と会話をしないでください。
I struck up a conversation with her at the party yesterday.
→昨日のパーティで彼女に話しかけました。
I struck up an interesting conversation with a man I met at the party last night.
→昨夜のパーティで会った男性と面白い会話をしました。
They struck up a friendship.
→彼らは親しくなった。
He struck up a friendship with local residents.
→彼は地元の人たちとの友情を築いた。