the number of の意味と使い方
「the number of ～」の意味は「～の数」で、後ろには複数形が入ります。
注意点は、「the number of」が主語に置かれた場合は動詞が単数になる点です。
The number of students is decreasing.
生徒の数は減少している。
The number of guests is about fifth a day on average.
宿泊客の数は、1日平均、約50人です。
（引用：ALL IN ONE Basic p36）
number は単数名詞なので、「～の数」と言う場合は単数扱いになります。
「～している人の数」の言い方
「～している～の数」という文のパターンもよく見られます。
I was surprised by the number of people attending the event.
そのイベントに参加している人の数に驚きました。
これは「the number of people」を「attending the event」が修飾した形です。
核は「people attending（参加している人）」です。
a number of の意味と使い方
「a number of ～」の意味は「いくつかの～」で、後ろには複数形が入ります。
注意点は、「A number of」が主語に置かれた時は動詞が複数形になる点です。
A number of plans are currently under construction.
いくつかのプランが現在、検討されているところです。
（引用：ALL IN ONE Basic p36）
A number of people have already mentioned this happening.
何人かが既にこの出来事について言及している。
上記の例文は、「plans が検討中」と「people が言及している」から動詞は複数形だと考えると分かりやすくなると思います。
また、「A number of」は、意味的には「several」が近いです。
「多数の / 少数の」は「large / small」を使う
「多数の / 少数の」は「a large number of」「a small number of」の形になります。
A large number of people attended the concert last night.
多くの人が昨夜のコンサートに参加した。
Only a small number of students passed the math exam.
少数の生徒だけがその数学の試験に合格した。
「a number of」も「たくさんの」と訳されることがありますが、「a number of」の基本的な意味は「いくつか / いく人か」です。
on a number of occasion の意味
「on a number of occasions」は直訳だと「いくつかの機会に」で、そこから「何回か」という意味で使われます。
ただ、文脈によっては「many times（何度も）」のニュアンスが含まれることがあります。
I've met him on a number of occasions.
彼には何度かあったことがある。
This problem has happened on a number of occasions.
この問題は何度か起きている。
この問題は何度も起きている。
Since then, We've met on a number of occasions.
それ以来、私達は何度か会っています。
（引用：ENGLISH EX p392）
the number of と a number of の違いと覚え方
明確な違いは「前を修飾するか後ろを修飾するか」です。
・「The number of +名詞の複数形」は「～の数」
・「A number of +名詞の複数形」は「いくつかの～」
また、覚え方も冠詞の違いから考えると分かりやすく、
・「～の数」と特定の数を指すので「the」
・「いくつかの～」と明確な数を特定できないことを表すので「a」
と意識しておくと、頭に残りやすくなります。
