break in と break into の違い
「break in」の意味は「（建物などに強引に）侵入する」です。
「break（壊して） in する」というイメージがあります。
これは自動詞的に使われます。
The thief tried to break in through the window.
泥棒は窓から侵入しようとした。
この文は「The thief tried to break in（泥棒は侵入しようとした）」＋「through the window（窓を通って）」の組み合わせです。
文法的にはこの「in」は副詞です。
一方、「break into」は「～に侵入する」となり、後ろに目的語が置かれます。
Someone broke into the house last night.
昨夜、誰かが家に侵入した。
このように「break into the house（家の中に侵入する）」となり、「どこに入ったか」を示します。
文法的にはこの「into」は前置詞です。
他にも、break into の考え方のイメージとしては「break in（侵入する）+ to the house（家に）」としてもいいと思います。
break in の「慣らす」の意味
「break in ～」または「break ～ in」の形で「（靴など）を使い慣らす / 履き慣らす」という意味もあります。
また、「人」が入る場合は「（仕事など）を慣れさせる / 訓練する」のニュアンスになります。
It took me a week to break in my new running shoes.
新しいランニングシューズを慣らすのに1週間掛かりました。
It’s my job to break in new employees.
新入社員を訓練する（仕事に慣れさせる）のが私の仕事です。
何故「break in = 慣れ」になるのかは「新しい物事に入って行って慣れていく」というイメージです。
「（話に）割り込む」
「break in」は「（話に）割り込む」や「口を挟む」の意味で使われることがあります。
こちらも「会話に割って入る」というイメージです。
Can I break in here?
ちょっといいですか？
Sorry to break in, but the video is a fake.
割り込んで申し訳ないですが、そのビデオはフェイクです。
「～に」と具体的にする場合は「break in on」の形になります。
She broke in on our conversation.
彼女は私たちの会話に割り込んできた。
break into も似たような意味になる
「break into」も「（会話）に割り込む」という意味で使われますが、こちらは「突然」のニュアンスが含まれます。
She broke into the conversation.
彼女は急に会話に割り込んできた。
break into = 突然始める
「break into」には「突然～を始める」の意味でも使われます。
よく使われるのが「急に笑い出す」というような感情的なことや「急に走り出す」などです。
They broke into laughter.
彼らは急に笑い出した。
She broke into tears.
彼女は急に泣き出した。
He broke into a run.
彼は急に走り出した。
I almost broke into tears.
泣きそうになった。
まとめ
・「break in」は（建物などに強引に）侵入する」で、自動詞的に使われる
・「break into」は「～に侵入する」で、後ろには「どこに入ったか」を示す
・「break in ～ / break ～ in」には「（モノなど）を使い慣らす」という意味があり、「人」が入る場合は「（仕事などを）慣れさせる / 訓練する」になる
・「break in」は「（話に）割り込む」や「口を挟む」の意味でも使われ、「会話に割って入る」というイメージ
・「～に」と続ける場合は「break in on ～」の形
・「break into ～」も「（会話）に割り込む」という意味で使われるが、「突然」のニュアンスが含まれる
・「break into」には「突然～を始める」の意味もあり、主に感情などに対して使われる
